En el plano, una figura y una ecuación son lo mismo
El temario pide explícitamente plano cartesiano, secciones cónicas y conversión de unidades, y el primer banco ya pregunta por la ecuación de una elipse y por razones de áreas entre figuras semejantes. Nada de eso tenía material detrás en este sitio.
Seis paneles, todos sobre la misma idea: la distancia sale de Pitágoras, la recta de una razón, la circunferencia de la distancia elevada al cuadrado, y las cuatro cónicas se distinguen mirando dos coeficientes. El último cierra con la regla k, k², k³, que es donde la semejanza y la conversión de unidades resultan ser el mismo problema.
Distancia y punto medio: Pitágoras y un promedio
Las dos fórmulas del plano que hay que saber no son fórmulas nuevas. La distancia es el teorema de Pitágoras sobre el triángulo que forman las dos diferencias de coordenadas, y el punto medio es el promedio de cada coordenada por separado.
Aquí la raíz sale exacta, que es lo que el examen busca al elegir los puntos. Cuando no salga, se deja indicada.
La recta: una pendiente y un punto por donde pasa
La pendiente es cuánto sube y por cada unidad que avanza x. Con ese número y un solo punto, la recta queda determinada — y las tres formas en que el examen la escribe son la misma ecuación despejada de tres maneras.
| pendiente-intercepto | y = 2x − 1 — la que se grafica de un vistazo |
| punto-pendiente | y + 1 = 2(x − 0) — la que se usa cuando dan un punto cualquiera |
| general | 2x − y − 1 = 0 — la que aparece en geometría analítica |
Paralelas y perpendiculares: dos condiciones sobre la pendiente
Toda la relación entre dos rectas cabe en dos igualdades. Paralelas: la misma pendiente. Perpendiculares: el producto de las pendientes vale −1, es decir cada una es el inverso de la otra con el signo cambiado.
El inverso y el cambio de signo son dos operaciones distintas, y hay que hacer las dos. Sólo invertir, o sólo cambiar el signo, es el error habitual.
La circunferencia: la distancia, escrita como ecuación
Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un centro. Escribe esa frase con la fórmula de distancia del panel 1, eleva al cuadrado para quitar la raíz, y ya tienes la ecuación. No hay nada más.
Se llega desarrollando los dos cuadrados y pasando todo a un lado. Para volver de la general a la canónica se completa el cuadrado en x y en y por separado — el mismo procedimiento del estudio de factorización, aplicado dos veces.
Agrupar las x con las x y las y con las y
Se parte de x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 y se pasa el término independiente a la derecha.
Completar el cuadrado en cada grupo
La mitad de −6 es −3, y su cuadrado 9. La mitad de 4 es 2, y su cuadrado 4. Se suman a los dos lados.
Escribir los cuadrados y leer el resultado
Las cuatro cónicas se distinguen mirando dos coeficientes
El examen pregunta esto casi siempre igual: da cuatro ecuaciones y pide cuál corresponde a una figura. No hay que graficar nada — basta con mirar los términos cuadráticos y responder tres preguntas en orden.
| Pregunta | si la respuesta es sí |
|---|---|
| ¿Sólo una variable está al cuadrado? | parábola — y ahí se acaba |
| ¿Los dos cuadrados tienen signos opuestos? | hipérbola |
| ¿Los coeficientes son iguales? | circunferencia |
| si no, los dos suman con coeficientes distintos | elipse |
Al escalar: la longitud por k, el área por k², el volumen por k³
Es la regla que resuelve dos temas a la vez —semejanza y conversión de unidades— y la que más se falla, porque el instinto dice que si algo se duplica, todo en él se duplica. El área no: se cuadruplica.
| Magnitud | original | factor | escalada |
|---|---|---|---|
| longitud del lado | 3 | k = 2 | 6 |
| área de una cara | 9 | k² = 4 | 36 |
| volumen | 27 | k³ = 8 | 216 |
| Equivalencia | factor | por qué |
|---|---|---|
| 1 m = 100 cm | 10² | una longitud: el factor va tal cual |
| 1 m² = 10.000 cm² | 10⁴ | el factor va al cuadrado: 100² = 10.000 |
| 1 m³ = 1.000.000 cm³ | 10⁶ | al cubo: 100³ = un millón |
| 1 L = 1.000 cm³ | — | equivalencia directa: 1 m³ = 1.000 L |
Y al revés, que es como suelen preguntarlo: si la razón de áreas es 4 : 9, la de lados es √4 : √9 = 2 : 3, y sólo entonces se eleva al cubo para los volúmenes, 8 : 27. Saltar directo de áreas a volúmenes sin pasar por la longitud es el error.
Sources & bibliography
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- 01
DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de AdmisionesHerramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.
- 02
Prueba de admisión — estructura y componentes
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.
- 03
Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario
Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.
- 04
La Géométrie
René Descartes · 1637El trabajo que introduce las coordenadas y con ellas la correspondencia entre una curva y una ecuación, que es la idea que organiza este estudio entero. Se cita como la autoridad del planteamiento.
- 05
Cónicas
Apolonio de PergeEl tratado clásico donde se estudian la parábola, la elipse y la hipérbola como secciones de un cono, y de donde vienen sus nombres. Sostiene el panel 5; los criterios de reconocimiento por coeficientes son la versión algebraica moderna de esa clasificación, no una cita de la obra.
- 06
Elementos, Libro VI
EuclidesLa proporcionalidad entre figuras semejantes, incluida la razón entre áreas de figuras semejantes, que es el contenido del panel 6 y de dos preguntas del banco.
- 07
The International System of Units (SI), 9th edition
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) · 2019Los prefijos del SI y las unidades derivadas de área y volumen. Es la referencia de la tabla de conversiones del panel 6, incluido que un litro sea un decímetro cúbico.
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- Que las ecuaciones, distancias y clasificaciones de cónicas de la página sean las correctas.La distancia y el punto medio se comprobaron en los 14.641 pares de puntos que permiten los deslizadores; la equivalencia entre forma general y canónica de la circunferencia, en todo el rango de centro y radio; y los cuatro trazados de cónicas se verificaron sustituyendo sus puntos en la ecuación correspondiente. Es cálculo reproducible, no una cita.
- Que el temario del componente incluya secciones cónicas, plano cartesiano y conversión de unidades como bloques propios.Sale del temario recogido de un canal de preparación, no de un documento de la Universidad. Lo que sí está observado en material preuniversitario es una pregunta que pide identificar la ecuación de una elipse, y ese formato es el que imitan las preguntas 8, 9 y 12 del banco.
- El orden de importancia de los subtemas de matemáticas —que trigonometría sea «lo que más se pregunta», seguida de regla de tres, probabilidad, estadística y funciones—.Procede de una serie de vídeos de un canal de preparación (PASAR A LA U), cruzando la descripción de cada vídeo con su audio, no de un temario publicado por la Universidad Nacional. Los propios vídeos remiten al simulador DIPA como la mejor preparación. Sirve como mapa de estudio; no como especificación de la prueba, y por eso el énfasis de estos estudios podría estar mal repartido.
- La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad. Estos bancos la aplican a rajatabla, así que si resultara falsa entrenarían un descarte que no existe.
- Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
- Las 20 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él.