Esteban Ruano.
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Admisión UNAL · Matemáticas VII

Casi todo error de datos es un error de conteo

El primer banco de matemáticas ya pregunta media y mediana, media ponderada, permutaciones y combinaciones, probabilidad condicional y sobreinterpretación de porcentajes. Ninguno de esos temas tenía material detrás en este sitio: había ejercicio sin explicación. Éste es ese material.

Seis paneles con un hilo único: la fórmula casi nunca es el problema. El problema es cuántos casos hay, si el orden importa, si la bolsa cambió entre una extracción y la siguiente, y qué se puede concluir de verdad de una tabla.

Índice

1 · Contar sin listar2 · ¿Importa el orden?3 · Probabilidad compuesta4 · Media y mediana5 · Ponderada y dispersión6 · Concluir de más
1

Contar sin escribir la lista

Antes de cualquier fórmula de probabilidad hay que saber cuántos casos hay. Y casi siempre son demasiados para enumerarlos. La regla que lo resuelve es una sola: si una elección se hace por etapas, el total es el producto de las opciones de cada etapa.

Un menú: entradas = 3 · platos fuertes = 4 · postres = 2
inicioentrada+ plato
El árbol muestra sólo las dos primeras etapas: ya son 3 × 4 = 12 ramas.
El conteo
3 × 4 × 2 = 24 menús distintos

Dibujar el árbol entero exigiría 24 hojas. Por eso se multiplica en vez de enumerar — y por eso este principio es el cimiento de todo lo que sigue.

Cuándo se suma en vez de multiplicar
Se multiplica cuando las etapas se combinan: entrada y plato y postre. Se suma cuando son alternativas excluyentes: puedo pedir el menú del día o el de la carta. La palabra del enunciado —«y» frente a «o»— decide la operación, y confundirlas es el error más barato de cometer y el más caro de arrastrar.
2

La única pregunta que separa los dos casos

Permutación y combinación no son dos fórmulas que haya que reconocer de memoria: son la misma cuenta con o sin una división final. La pregunta que decide cuál va es siempre ¿importa el orden?

De un grupo de n = 5 se eligen r = 3
Permutaciónel orden SÍ importa
Un podio, una contraseña, un cargo de presidente y otro de tesorero: cambiar quién va primero produce un resultado distinto.
P(5, 3) = 5! / (5 − 3)! = 60
Combinaciónel orden NO importa
Un comité, una mano de cartas, un subconjunto: elegir a Ana y luego a Beto da el mismo grupo que elegir a Beto y luego a Ana.
C(5, 3) = 5! / [3!·(5 − 3)!] = 10
Por qué una es múltiplo de la otra
P(5, 3) ÷ C(5, 3) = 60 ÷ 10 = 6 = 3!

Cada grupo de 3 se puede ordenar de 3! = 6 maneras. La combinación cuenta el grupo una sola vez; la permutación cuenta cada ordenación. Dividir entre r! es exactamente «dejar de distinguir el orden».

La combinación siempre es menor o igual que la permutación, porque agrupa casos que la otra separa. Si tu respuesta a un problema de comités sale mayor que la de podios con los mismos números, usaste la fórmula al revés.
La trampa
«Grupo», «comité», «equipo» y «selección» son combinaciones; «orden», «podio», «ranking», «contraseña» y «cargos distintos» son permutaciones. El enunciado siempre lo dice, pero con una palabra, no con una fórmula — y esa palabra es lo que hay que leer dos veces.
3

«Y» multiplica, «o» suma — y devolver la balota lo cambia todo

Una bolsa con 3 balotas rojas y 2 azules. Se sacan dos. Todo el ejercicio depende de una frase que el enunciado suelta de pasada: si la primera balota se devuelve o no.

rojasazulesLa segunda bolsa es la que queda tras sacar una roja: tiene una roja menos y un elemento menos en total.
P(las dos rojas)3/10 — 3/5 × 1/2
P(ninguna roja)1/10
P(al menos una roja)9/10 — se calcula por el complemento
P(2.ª roja | 1.ª roja)1/2 — la bolsa ya cambió, así que la condición sí altera la probabilidad.
P(al menos una) = 1 − P(ninguna)
«Al menos una» casi nunca se calcula sumando casos: se calcula restándole a 1 la probabilidad de que no ocurra ninguna. Es una cuenta en vez de tres.
Las dos trampas
Una: usar la misma fracción dos veces cuando no hay reemplazo. La segunda extracción sale de una bolsa con un elemento menos, arriba y abajo. Dos: sumar en vez de multiplicar. «La primera roja Y la segunda roja» es un producto; sumar 3/5 + 1/2 daría más de 1 en muchos casos, lo que es imposible y sirve para descartar de inmediato.
4

Tres promedios distintos, y sólo uno se deja mover

La media es la que todo el mundo calcula, y es la única de las tres que un solo dato extremo puede arrastrar. Saber eso es lo que el examen mide cuando pone un conjunto con un valor muy alejado.

Datos: 2, 3, 3, 7 y un quinto valor = 10
110203040media 5mediana 3
media5 — (2 + 3 + 3 + 7 + 10) ÷ 5 = 25 ÷ 5
mediana3 — el valor central una vez ordenados: 2, 3, 3, 7, 10
moda3 — el que más se repite; aparece dos veces
Mueve el quinto dato de 8 a 42: la media se desplaza y la mediana no se mueve. Por eso, cuando hay valores atípicos, la mediana describe mejor «lo típico» — y por eso los salarios se reportan con mediana y no con promedio.
Lo que un promedio NO dice
Que el promedio de cinco números sea 10 no implica que alguno valga 10, ni que estén cerca de 10, ni que ninguno sea negativo. Sólo dice que suman 50. El conjunto (−90, 0, 0, 40, 100) tiene media 10. El examen pregunta esto en negativo —«de ese dato NO se puede concluir que…»— y ésa es la respuesta.
5

Cuando los datos no pesan lo mismo, y cuánto se dispersan

Dos preguntas que el examen hace por separado y que comparten idea: un promedio simple supone que todo pesa igual, y dos conjuntos con la misma media pueden ser muy distintos.

Media ponderada: la nota definitiva
Notapesovaloraporte
Primera20 %30,6
Segunda30 %41,2
Tercera50 %4,52,25
Ponderada frente a simple
ponderada = 0,20(3,0) + 0,30(4,0) + 0,50(4,5) = 4,05 · promedio simple = 3,833

Son números distintos, y el ponderado es mayor porque la nota más alta es también la que más pesa. Los pesos tienen que sumar 100 %: si no suman, hay que dividir entre la suma de los pesos.

Dispersión: separación d = 2 respecto de la media 5
13579media 5
La cuenta, paso a paso
datos: 3, 5, 5, 7 · media = 5 · desviaciones: -2, 0, 0, 2 · cuadrados: 4, 0, 0, 4 · varianza = 8 ÷ 4 = 2 · desviación = √2 ≈ 1,414

La media no cambia al abrir el conjunto —siempre 5— pero la varianza crece con el cuadrado de la separación. Por eso dos grupos con el mismo promedio pueden ser incomparables.

Las desviaciones se elevan al cuadrado porque si no, se cancelarían: la suma de las desviaciones respecto de la media es siempre cero, por construcción. Y la desviación estándar es la raíz de la varianza precisamente para volver a las unidades originales — la varianza está en unidades al cuadrado.
6

El error que el examen persigue: concluir de más

Un tercio de las preguntas de datos van en negativo —«de esta información NO se puede concluir que…»— y casi siempre castigan el mismo salto: tratar una proporción como si fuera una cantidad, o promediar porcentajes de grupos de distinto tamaño.

El 40 % de décimo y el 60 % de once practican deporte. ¿Cuál es el porcentaje del colegio?
Estudiantes de décimo: 100
Estudiantes de once: 100
décimo
once
colegio
El porcentaje conjunto
(0,40 × 100 + 0,60 × 100) ÷ 200 = 100 ÷ 200 = 50 %

Con los dos grupos del mismo tamaño sí da 50 %. Pero eso es una coincidencia de este caso, no una regla — mueve cualquiera de los dos deslizadores y se rompe.

Como el enunciado no dice cuántos estudiantes hay en cada curso, el porcentaje del colegio no se puede determinar: sólo se sabe que está entre 40 % y 60 %. Ésa es la respuesta que el examen busca, y por eso la pregunta va en negativo.
Los cuatro saltos que hay que negarse a dar
Del datoNO se sigue
un porcentaje subeque la cantidad absoluta suba
un porcentaje bajaque la cantidad absoluta baje
dos porcentajes de grupos distintosque su promedio simple sea el conjunto
una correlación entre dos columnasque una cause la otra
El caso más contraintuitivo es el primero: la proporción de población rural de Colombia cayó durante todo el siglo XX mientras la población rural absoluta crecía. Las dos cosas a la vez, porque el denominador crecía más rápido.
Tres frases. «Y» multiplica, «o» suma, y «al menos uno» se resuelve por el complemento. Si el orden importa es permutación, y la combinación es esa misma cuenta dividida entre r!. Y la que más puntos vale: un porcentaje no es una cantidad— de una proporción que sube no se sigue que el número absoluto suba, y de dos porcentajes no se sigue su promedio.
// sources

Sources & bibliography

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  1. 01

    DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión

    Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones

    Herramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.

  2. 02

    Prueba de admisión — estructura y componentes

    Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones

    120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.

  3. 03

    Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario

    Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.

  4. 04

    Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Fundamentos de la teoría de la probabilidad)

    Andréi N. Kolmogórov · 1933

    La axiomatización de la probabilidad sobre un espacio muestral, que es la base de los paneles 1 y 3: la probabilidad se define sobre un conjunto de resultados que hay que enumerar antes de dividir. Es la misma referencia que sostiene el panel de conteo del primer estudio de matemáticas.

  5. 05

    Ars Conjectandi

    Jakob Bernoulli · 1713

    El tratado en que se sistematizan las permutaciones y las combinaciones y su uso para contar casos favorables. Se cita como la autoridad del planteamiento del panel 2, no como origen de ninguna de las cifras de la página.

Open questions

These are in the material but their provenance is not established. They are listed rather than omitted, so nothing here reads as settled when it isn't.

  • Que las fórmulas de conteo y las probabilidades de la página den los valores que muestra.P(n, r) y C(n, r) se contrastaron contra la enumeración exhaustiva de secuencias y subconjuntos para todo n de 2 a 8, y las probabilidades de las bolsas, los dados y las monedas se comprobaron enumerando el espacio muestral completo en vez de aplicando la fórmula. Es verificación por cálculo, reproducible; no es una cita.
  • La tabla del torneo interclases del banco y el ejemplo del 40 % y el 60 % del panel 6.Están construidos para el ejercicio, y las cifras se eligieron a propósito para que el curso con el porcentaje más alto NO sea el que más deportistas aporta. No proceden de ningún colegio ni de ninguna encuesta; la aritmética sobre ellas sí está verificada.
  • Que la caída de la proporción de población rural colombiana coincidiera con un crecimiento de la población rural absoluta, como afirma la nota del panel 6.Es la tendencia que describe el estudio del DANE ya citado en el material de sociales, y se usa aquí sólo como ilustración de que proporción y cantidad pueden moverse en sentidos opuestos. No se dan cifras ni años concretos precisamente porque no se han contrastado contra la fuente.
  • El orden de importancia de los subtemas de matemáticas —que trigonometría sea «lo que más se pregunta», seguida de regla de tres, probabilidad, estadística y funciones—.Procede de una serie de vídeos de un canal de preparación (PASAR A LA U), cruzando la descripción de cada vídeo con su audio, no de un temario publicado por la Universidad Nacional. Los propios vídeos remiten al simulador DIPA como la mejor preparación. Sirve como mapa de estudio; no como especificación de la prueba, y por eso el énfasis de estos estudios podría estar mal repartido.
  • La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad. Estos bancos la aplican a rajatabla, así que si resultara falsa entrenarían un descarte que no existe.
  • Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
  • Las 24 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él.