Admisión UNAL · Matemáticas VI

La integral acumula; la derivada corta

Empezando por lo que hay que saber antes de estudiarlo: en el material de examen observado, la integral no aparece como contenido evaluado. Aparece una sola vez, como una de las cuatro opciones de una pregunta que pide identificar el método — y como la opción incorrecta, frente a «derivar». Este estudio no dice lo contrario.

Se construye igual, por dos razones honestas: saber qué hace una integral es lo que permite descartarla cuando el enunciado pide otra cosa, y el tema entra en primer semestre de cualquier carrera de ciencias. Seis paneles: la antiderivada, el área como límite de una suma con rectángulos que se estrechan, el teorema que une las dos ideas, tres áreas resueltas enteras, la sustitución, y un panel final sobre cuándo el examen sí está pidiendo integrar.

Índice

1 · La antiderivada 2 · El área como suma 3 · Teorema fundamental 4 · Tres áreas 5 · Sustitución 6 · Qué pide el examen

Integrar es deshacer una derivada

La pregunta que responde una integral indefinida es: ¿de qué función vengo? Si derivando F se obtiene f, entonces F es una primitiva de f. Y como derivar borra las constantes, hay infinitas primitivas que se diferencian sólo en un número — de ahí el + C.

la función	f(x) = x³
su primitiva	F(x) = x⁴/4 + C

La comprobación: derivar la respuesta

F′(1.5) medida sobre la curva = 3,375 · f(1.5) = 3,375

Coinciden, y ésa es la única comprobación que hace falta: una integral está bien si al derivarla se recupera el integrando. A diferencia de derivar, integrar no tiene un procedimiento mecánico que siempre funcione — pero verificar sí.

La constante: C = 0

Cambiar C sube o baja la curva entera sin cambiar su pendiente en ningún punto. Por eso todas las primitivas derivan a lo mismo, y por eso la constante no se puede omitir en una integral indefinida.

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

La excepción es n = −1: ahí el denominador se anularía, y la primitiva de 1/x es ln|x| + C.

Las dos trampas

Olvidar el + C en una integral indefinida, que en un examen de opción múltiple suele ser la diferencia entre la respuesta y su distractor. Y integrar «al revés» a medias: no existe una regla para el producto ni para el cociente. ∫f·g dx no es (∫f)(∫g), y comprobarlo cuesta un ejemplo.

El área bajo una curva es el límite de una suma

El área de un rectángulo es fácil; la de una región con un lado curvo, no. La salida es cubrirla con rectángulos, sumar sus áreas y estrecharlos. La integral definida es a esa suma lo que la derivada era a la pendiente de la secante: el número al que tiende.

Rectángulos: n = 6

y = x²los n rectángulos que se suman

La suma, con estos rectángulos

Δx = 3/6 = 0,5 · suma de las 6 áreas = 11,375 · área exacta = 9

Con la altura tomada por la derecha, cada rectángulo sobresale de la curva y la suma se pasa: el resultado baja hacia 9. Sube n y mira el error: con 6 rectángulos la diferencia con el valor exacto es de 2,375.

Los dos lados aprietan el mismo número desde arriba y desde abajo. Ese número —9— es ∫₀³ x² dx, y el panel siguiente muestra por qué se puede calcular sin sumar nada.

El teorema fundamental: por qué no hay que sumar nada

Es el resultado que une los dos paneles anteriores, y es de los más sorprendentes de las matemáticas: para calcular un área basta con encontrar una primitiva y restarla en los dos extremos. Derivar e integrar son operaciones inversas, y eso convierte una suma infinita en una resta.

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Donde F es cualquier primitiva de f. La constante C se cancela al restar, y por eso en una integral definida no hace falta escribirla.

Extremo superior: b = 2

Las dos vías, sobre el mismo número

por el teorema: F(b) − F(0) = b³/3 − 0 = 2³/3 = 2,6667 · sumando 2.000 rectángulos: 2,6667

La primitiva de x² es x³/3, y evaluarla en los dos extremos da el área exacta. La suma de rectángulos se le acerca, pero nunca hace falta: eso es lo que el teorema regala. Con b = 3 el resultado es 27/3 = 9, el número del panel anterior.

Las tres trampas

Restar al revés: es F(b) − F(a), el de arriba menos el de abajo; invertirlo cambia el signo. Arrastrar el + C: en una integral definida se cancela, así que sobra. Confundir área con integral: si la curva pasa por debajo del eje, la integral suma cantidades negativas, y el área geométrica no es lo mismo que el valor de la integral.

Tres áreas, resueltas de principio a fin

El procedimiento es siempre el mismo: escribir el integrando, encontrar la primitiva, evaluar arriba y restar abajo. Cuando hay dos curvas, el integrando es la de arriba menos la de abajo.

El integrando

∫ (4 − x²) dx, de -2 a 2

Una primitiva

F(x) = 4x − x³/3

Evaluar y restar

F(2) − F(-2) = 32/3 ≈ 10,6667

Los límites son las raíces de la parábola, así que la región se cierra sola sobre el eje. Al evaluar: (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3.

La trampa de las dos curvas

Restar en el orden equivocado da el área con signo negativo. Antes de integrar hay que decidir cuál va por encima en ese intervalo — y puede cambiar: si las curvas se cortan dentro, el intervalo se parte en dos y cada trozo lleva su propio orden.

Sustitución: la regla de la cadena al revés

Es la única técnica de integración que hace falta a este nivel, y funciona cuando el integrando lleva una función compuesta junto con la derivada de su interior. Se le pone nombre al interior, se cambia todo a esa variable y se integra lo que queda.

Nombrar el interior y derivarlo

u = x² + 1 → du = 2x dx

Reescribir la integral entera en u

No puede quedar ninguna x: si queda, la sustitución elegida no era la buena.

∫ u³ du = u⁴/4 + C

Deshacer el cambio

(x² + 1)⁴/4 + C

La comprobación, derivando el resultado

F′(0.7) medida = 4,6311 · el integrando en x = 0.7 vale 4,6311

El 2x que acompaña es exactamente la derivada del interior: por eso la sustitución cierra sin sobrar nada. Es la regla de la cadena al revés.

En una integral definida hay dos salidas: deshacer el cambio y evaluar en los límites originales, o cambiar también los límites a la variable u. La segunda ahorra un paso y evita el error de evaluar los límites de x en una expresión que todavía está en u.

Lo que este tema aporta de verdad al examen

Hay que decirlo con claridad: en el material observado la integral no aparece como contenido evaluado. Aparece como una de las cuatro opciones de una pregunta que pide identificar el método — y como la opción incorrecta. Lo que sí se pide es derivar.

Este estudio existe por dos razones, y ninguna es «esto cae en el examen». Una: reconocer cuándo NO se integra es lo que resuelve las preguntas de método, que sí están atestiguadas. Dos: el tema entra en primer semestre de cualquier carrera de ciencias o ingeniería, así que el tiempo invertido no se pierde. Pero si estás priorizando, los estudios de trigonometría, factorización y derivadas rinden más.

¿Derivar o integrar? El criterio, sobre cuatro enunciados

«La mínima cantidad de material para fabricar un envase»derivar

Es optimización: se busca un extremo, y los extremos están donde la derivada se anula. Integrar aquí no lleva a ninguna parte, y es la opción que se ofrece para tentar.

Si el enunciado pregunta	la operación es
qué tan rápido cambia algo	derivar
dónde está el máximo o el mínimo	derivar e igualar a cero
cuál es la pendiente o la recta tangente	derivar
cuánto se acumula en total	integrar
qué área encierra una curva	integrar
de qué función viene ésta	integrar

Una forma corta de recordarlo: la derivada corta, la integral acumula. Si el enunciado habla de un instante, de una rapidez o de un punto, es derivada. Si habla de un total, de un área o de un recorrido completo, es integral.

Tres frases. Una integral está bien si al derivarla vuelve el integrando: es la única comprobación que hace falta y siempre está disponible. El teorema fundamental convierte una suma infinita en una resta: F(b) − F(a), en ese orden. Y la que más rinde para el examen: si el enunciado pregunta por un máximo, un mínimo o una rapidez, la respuesta es derivar — «integrar» está entre las opciones justamente para ver quién no distingue.

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Sources & bibliography

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01
DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones
Herramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.
02
Prueba de admisión — estructura y componentes
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones
120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.
03
Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario
Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.
04
Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe
Bernhard Riemann · 1854
El trabajo donde se define la integral que hoy lleva su nombre a partir de sumas sobre particiones del intervalo — la construcción que el panel 2 dibuja con rectángulos. Se cita como la autoridad de la definición.
05
Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique
Augustin-Louis Cauchy · 1821
El tratamiento de la integral definida como límite de sumas y su relación con la primitiva. Sostiene los paneles 2 y 3.

Open questions

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QUE ESTE TEMA ENTRE EN EL EXAMEN. En el material observado la integral no aparece como contenido evaluado.Aparece una sola vez, y como opción incorrecta: en una pregunta que pide identificar el método para hallar una cantidad mínima, «integrar» es uno de los cuatro distractores frente a «derivar». No se ha visto ningún ítem que pida calcular una integral. La página lo declara en la portada y en el panel 6, y el banco lo repite en su entradilla, porque el riesgo aquí no es un dato mal citado sino que alguien reparta su tiempo de estudio suponiendo que esto cae. Si estás priorizando, los estudios de trigonometría, factorización y derivadas rinden más.
Que las primitivas y las áreas de la página sean las correctas.Cada primitiva se comprobó derivándola numéricamente y recuperando el integrando, y cada área contra una suma de Riemann de 200.000 términos. Es verificación por cálculo, reproducible; no una cita a una tabla de integrales.
Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
Las 20 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él. Y con una advertencia adicional que no llevan los demás bancos: no están calibradas contra material de examen, porque para este tema no lo hay. El formato imita al del examen; el nivel y el tipo de pregunta son los del cálculo integral estándar de primer semestre.