Admisión UNAL · Matemáticas V

La derivada es una pendiente, y ya está

El temario del componente incluye cálculo, y el material observado lo confirma: hay razones de cambio relacionadas —un tanque cónico que se llena y pregunta con qué rapidez sube el nivel— y hay optimización. Un banco de matemáticas sin derivadas está mal calibrado, aunque la fama de la prueba diga otra cosa.

Seis paneles con un solo hilo: la derivada es la pendiente de la recta tangente, y crecimiento, máximos, mínimos y optimización son leer el signo de esa pendiente. El último optimiza la misma caja que el estudio de factorización factoriza.

Índice

1 · Secante y tangente 2 · Las reglas 3 · Razones de cambio 4 · Puntos críticos 5 · Máximos y mínimos 6 · Optimización

La derivada es una pendiente que deja de moverse

La pendiente de una recta es fácil: sube tanto por cada tanto que avanza. Una curva no tiene una pendiente, tiene una distinta en cada punto. La derivada es el número que sale de acercar el segundo punto al primero hasta que la recta deja de girar.

Separación entre los dos puntos: h = 1,5

y = x²la secante por los dos puntosla tangente en x = 1, hacia donde tiende

El cociente, desarrollado

(f(1 + h) − f(1))/h = ((1 + h)² − 1)/h = (1 + 2h + h² − 1)/h = (2h + h²)/h = 2 + h = 3,5

Ahí está todo: al desarrollar el cuadrado del binomio, el 1 se cancela y queda una h que se simplifica con el denominador. La pendiente vale 2 + h, así que cuando h se acerca a cero se acerca a 2. Ése es el valor de la derivada en x = 1.

f′(a) = lím_h→0 f(a + h) − f(a)h

Se lee: la derivada en a es el límite de la pendiente de la secante cuando la separación entre los dos puntos tiende a cero.

Con la regla de la potencia, la derivada de x² es 2x, y en x = 1 vale 2. Es el mismo número al que tiende el deslizador. Las reglas del panel 2 no son otro tema: son este límite ya resuelto de una vez por todas.

La confusión de fondo

f(a) y f′(a) son dos números distintos. Aquí f(1) = 1 es la altura de la curva y f′(1) = 2 es su inclinación. El examen construye distractores intercambiándolos, y en un problema de razón de cambio el error equivale a responder «cuánto hay» donde preguntaban «qué tan rápido cambia».

Las seis reglas que cubren todo lo que aparece

Nadie deriva con el límite del panel anterior: se usa el límite una vez por familia de funciones y se guarda el resultado. Con estas seis reglas se deriva cualquier expresión del examen.

(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

El exponente baja a multiplicar y se reduce en uno. Sirve también con exponentes negativos y fraccionarios: la derivada de 1/x = x⁻¹ es −x⁻² = −1/x².

función	f(x) = x⁵
derivada	f′(x) = 5x⁴

Comprobar en x = 2

La regla, contrastada contra la pendiente medida

f′(2) por la regla = 80 · medida numéricamente sobre la curva = 80

La pendiente medida sobre la curva —tomando dos puntos separados una diezmilésima— coincide con la que da la regla. Es la comprobación que convierte una fórmula memorizada en una que se entiende.

Las dos reglas que no existen

(f·g)′ no es f′·g′ y (f/g)′ no es f′/g′. Se descartan con un ejemplo: la derivada de x·x = x² es 2x, mientras que el producto de las derivadas sería 1·1 = 1. Un contraejemplo de una línea vale más que la fórmula memorizada.

Razones de cambio: dos velocidades atadas por la geometría

Es el tipo de problema de cálculo que el material real sí trae. Entran 9 litros por segundo a un tanque cónico y se pregunta con qué rapidez sube el nivel. Las dos velocidades no son independientes: las ata la forma del tanque.

Tanque cónico con el vértice hacia abajo · radio = mitad de la altura

Escribir el volumen y eliminar la variable sobrante

V depende de r y de h, pero por semejanza de triángulos r = h/2. Sustituir ANTES de derivar es el paso que separa a quien entiende el problema.

V = ⅓πr²h · con r = h/2 → V = ⅓π(h²/4)h = πh³/12

Derivar respecto del tiempo, los dos lados

La regla de la cadena aparece sola: h depende de t, así que al derivar h³ sale h²·(dh/dt).

dV/dt = (πh²/4)·(dh/dt)

Despejar la velocidad que se pide y unificar unidades

9 L/s son 9×10⁻³ m³/s. Mezclar litros con metros es el error que arruina el ejercicio.

dh/dt = (dV/dt) ÷ (πh²/4)

Altura del agua: h = 6 m

La cuenta, con este nivel

dh/dt = (9×10⁻³) ÷ (π·6²/4) = (9×10⁻³) ÷ (9π) = 1/(10³π) m/s ≈ 0,000318 m/s

Cuanto más alto está el nivel, más despacio sube: el cono es más ancho arriba, así que el mismo caudal tiene que repartirse en más superficie. Con h = 6 m el resultado sale redondo, 1/(10³π) m/s, y así es como se deja: sin decimalizar.

Las tres trampas de este problema

Una: derivar antes de sustituir r = h/2, con lo que quedan dos incógnitas y el problema no cierra. Dos: no convertir litros a metros cúbicos. Tres: responder dV/dt —el dato— en vez de dh/dt, que es lo que se pedía.

Crecer, decrecer y los puntos donde la pendiente se anula

El signo de la derivada dice qué hace la función: positiva sube, negativa baja, cero se aplana. Los puntos donde f′ vale cero se llaman críticos, y son los únicos candidatos a máximo o mínimo.

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5·f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1)

Factorizar la derivada da los puntos críticos sin fórmula cuadrática: x = 3 y x = −1.

f(x)f′(x), la pendiente

Mover el punto: x = -1

Qué hace la función en x = -1

f(-1) = 10 · f′(-1) = 0 → pendiente nula: punto crítico

Fíjate en la curva naranja: corta el eje horizontal exactamente donde la azul se aplana. Ésa es toda la relación entre una función y su derivada, y es lo que el examen pregunta cuando pone dos gráficas y pide emparejarlas.

El cuadro de signos, que es como se resuelve en el papel

Intervalo	signo de f′	la función	en la frontera
x < −1	+	crece	—
x = −1	0	se aplana	máximo local, f(−1) = 10
−1 < x < 3	−	decrece	—
x = 3	0	se aplana	mínimo local, f(3) = −22
x > 3	+	crece	—

El signo de f′ en cada intervalo se averigua evaluando un solo punto de prueba: en x = 0, f′(0) = −9, negativo, así que todo el intervalo entre −1 y 3 es decreciente. No hace falta más.

Los dos criterios para decidir si es máximo o mínimo

Que f′ se anule no basta: puede ser máximo, mínimo o ninguno de los dos. Hay dos formas de decidirlo y conviene saber las dos, porque la segunda es más rápida y la primera nunca falla.

Criterio de la primera derivadanunca falla

Si f′ cambia de + a − al pasar por el punto, es máximo. Si cambia de − a +, es mínimo. Si no cambia de signo, no es ninguno de los dos.

f′(-2) = 15 · f′(0) = -9

lectura pasa de positiva a negativa, así que x = -1 es un máximo local.

Criterio de la segunda derivadamás rápido

Se evalúa f″ en el punto crítico. Negativa significa cóncava hacia abajo, y una cima es un máximo. Positiva, cóncava hacia arriba: un valle, mínimo.

f″(x) = 6x − 6 · f″(-1) = -12

lectura negativa → cóncava hacia abajo → máximo.ojo si f″ da cero, el criterio no decide nada y hay que volver al primero.

La imagen que hay que retener: la primera derivada dice hacia dónde va la curva, la segunda dice hacia dónde se curva. Una cima tiene pendiente cero y se curva hacia abajo; un valle tiene pendiente cero y se curva hacia arriba.

Las dos trampas

Máximo local no es máximo absoluto. Aquí f(−1) = 10 es un máximo local, pero la función sigue creciendo sin límite: no hay máximo absoluto en todos los reales. En un intervalo cerrado hay que comparar además los valores en los extremos, que es donde el máximo absoluto suele estar. Y f′(a) = 0 no garantiza extremo: en y = x³, f′(0) = 0 y no hay ni máximo ni mínimo, sólo un punto de inflexión.

Optimización: el problema completo, de principio a fin

Es la misma caja del estudio de factorización: una lámina cuadrada de 12 cm de lado a la que se le recortan esquinas de lado x. Allí se preguntaba cómo escribir el volumen; aquí, cuánto hay que recortar para que sea el mayor posible.

Escribir la magnitud que se quiere optimizar en UNA sola variable

Es el paso que más se cobra: mientras haya dos variables, no se puede derivar.

V(x) = x(12 − 2x)² = 4x³ − 48x² + 144x, con 0 < x < 6

Derivar e igualar a cero

Y factorizar la derivada, que casi siempre sale más fácil que la fórmula cuadrática.

V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x² − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6)

Descartar las soluciones que el problema no admite

x = 6 anula el volumen y además está fuera del dominio: no queda base que doblar.

x = 2 o x = 6 → sólo x = 2 está en (0, 6)

Confirmar que es máximo y responder lo que se preguntó

Con la segunda derivada: V″(x) = 24x − 96, y V″(2) = −48, negativa.

V(2) = 4(8) − 48(4) + 144(2) = 32 − 192 + 288 = 128 cm³

Recorte: x = 2 cm

V(x)la tangente en el punto: se aplana en el máximo

Con este recorte

V(2) = 128 cm³ · V′(2) = 0

Aquí la tangente queda horizontal y el volumen es el mayor: 128 cm³.

El examen a veces no pide el número: pide el método. «Para hallar la mínima cantidad de papel se debe: derivar la ecuación / integrar / factorizar / hallar ceros racionales» — y la respuesta es derivar. Reconocer que un problema es de optimización vale tanto como resolverlo.

La trampa final

Responder x en vez de V. El punto crítico x = 2 es dónde ocurre el máximo; el máximo es 128 cm³. Entre las opciones suelen estar los dos números, y elegir el que no era desperdicia todo el trabajo anterior.

Tres frases. f(a) y f′(a) son cosas distintas: una es cuánto hay, la otra qué tan rápido cambia, y el examen construye distractores intercambiándolas. Sustituye antes de derivar: en las razones de cambio, la restricción geométrica —r = h/2 en el cono— entra primero, o el problema no cierra. Y responde lo que preguntaron: el punto crítico dice dónde, el valor de la función dice cuánto.

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Sources & bibliography

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01
DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones
Herramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.
02
Prueba de admisión — estructura y componentes
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones
120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.
03
Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario
Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.
04
Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus… (Acta Eruditorum)
Gottfried Wilhelm Leibniz · 1684
La primera publicación del cálculo diferencial, cuyo propio título anuncia las tres aplicaciones que organizan este estudio: máximos, mínimos y tangentes. Es la referencia del planteamiento, no de ningún resultado numérico de la página.
05
Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique
Augustin-Louis Cauchy · 1821
La formulación de la derivada como límite del cociente incremental, que es la definición del panel 1. Se cita como la autoridad de la definición.

Open questions

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Que el temario del componente incluya derivadas, razones de cambio relacionadas y optimización.Se apoya en dos cosas, ninguna oficial: el temario recogido de un canal de preparación, y ejercicios observados en un cuadernillo preuniversitario —entre ellos el tanque cónico y una pregunta de optimización que sólo pide identificar el método—. La Universidad no publica un temario detallado por subtema. Es la afirmación de la que depende que este estudio exista, así que es la primera que convendría confirmar.
El problema del tanque cónico: 9 L/s, r = h/2, y el resultado 1/(10³π) m/s cuando h = 6 m.Está calcado en su estructura de un ejercicio del mismo tipo presente en material preuniversitario, no copiado de él, y el resultado coincide con el que ese material declara. La aritmética está verificada aquí de forma independiente; lo que no se puede afirmar es que un problema así aparezca en el examen real.
Que las derivadas de la página sean las correctas.Cada regla y cada ejemplo se contrastaron contra una diferencia central calculada sobre la propia función, y esa comprobación se ejecuta también en el navegador, a la vista. Es cálculo verificable, no una cita a una tabla de derivadas.
La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad. Estos bancos la aplican a rajatabla, así que si resultara falsa entrenarían un descarte que no existe.
Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
Las 25 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él.