Derivadas y optimización en formato de examen
Dos bloques —un tanque cónico que se llena y un potrero que hay que cercar— más los ítems de reglas de derivación, recta tangente, puntos críticos y clasificación de extremos. Incluye el formato en que el examen pregunta por el MÉTODO en vez de por el número.
Un tanque tiene forma de cono circular recto con el vértice hacia abajo. Por su geometría, el radio de la superficie libre del agua es siempre la mitad de la altura que alcanza el agua: r = h/2.
Se empieza a llenar el tanque con un caudal constante de 9 litros por segundo, y se quiere saber con qué rapidez sube el nivel del agua en el instante en que la altura llega a 6 metros.
Todas las longitudes se miden en metros y el tiempo en segundos.
V = ⅓πr²h · 1 m³ = 1.000 L · si dos magnitudes dependen del tiempo, al derivar aparece la regla de la cadena
Al sustituir la condición r = h/2, el volumen de agua en función únicamente de la altura queda
Al derivar respecto del tiempo la expresión anterior se obtiene
El caudal de 9 litros por segundo, expresado en metros cúbicos por segundo, es
La rapidez con que sube el nivel del agua cuando la altura es de 6 metros es
A medida que el tanque se va llenando y el nivel sube, la rapidez con que sube el nivel
Sobre el procedimiento para resolver este problema, NO es correcto afirmar que
Se quiere cercar un potrero rectangular con exactamente 100 metros de alambre, sin dejar ninguna abertura y sin que sobre alambre. Se llama x al ancho del rectángulo, medido en metros.
El objetivo es que el área encerrada sea la mayor posible.
perímetro de un rectángulo = 2·(ancho + largo) · área = ancho × largo · vértice de y = ax² + bx + c en x = −b/2a
El área del potrero en función únicamente de x es
La derivada de la función de área es
Las dimensiones que hacen máxima el área son, en metros,
El área máxima que se puede encerrar, en metros cuadrados, es
Considere las siguientes afirmaciones sobre este problema.
(1) El máximo también puede hallarse con la fórmula del vértice, x = −b/2a
(2) La segunda derivada de A es −2, lo que confirma que se trata de un máximo
Si f(x) = 3x⁴ − 2x + 7, entonces f′(x) es igual a
La derivada de f(x) = 1/x es
La derivada de f(x) = (2x² + 1)³ es
La derivada de f(x) = x · sen x es
La derivada de f(x) = x/(x + 1), para x ≠ −1, es
La pendiente de la recta tangente a la curva y = x² − 4x en el punto de abscisa x = 3 es
La ecuación de esa recta tangente es
Los puntos críticos de f(x) = x³ − 12x están en
Para la misma función f(x) = x³ − 12x, en x = 2 hay
Sobre los máximos y mínimos de una función derivable, NO es correcto afirmar que
Un móvil se desplaza según s(t) = t³ − 6t² + 9t, con s en metros y t en segundos. Los instantes en que su velocidad es cero son
Para determinar, mediante un procedimiento matemático, la mínima cantidad de material necesaria para fabricar un envase de volumen dado, se debe
La función g(x) = x⁶ + 1 es
Un globo esférico se infla. La razón a la que cambia su volumen respecto del radio es
Sources & bibliography
The authorities this material stands on, and — separately — what it cannot yet back up.
- 01
DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de AdmisionesHerramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.
- 02
Prueba de admisión — estructura y componentes
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.
- 03
Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario
Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.
- 04
Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus… (Acta Eruditorum)
Gottfried Wilhelm Leibniz · 1684La primera publicación del cálculo diferencial, cuyo propio título anuncia las tres aplicaciones que organizan este estudio: máximos, mínimos y tangentes. Es la referencia del planteamiento, no de ningún resultado numérico de la página.
- 05
Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique
Augustin-Louis Cauchy · 1821La formulación de la derivada como límite del cociente incremental, que es la definición del panel 1. Se cita como la autoridad de la definición.
These are in the material but their provenance is not established. They are listed rather than omitted, so nothing here reads as settled when it isn't.
- Que el temario del componente incluya derivadas, razones de cambio relacionadas y optimización.Se apoya en dos cosas, ninguna oficial: el temario recogido de un canal de preparación, y ejercicios observados en un cuadernillo preuniversitario —entre ellos el tanque cónico y una pregunta de optimización que sólo pide identificar el método—. La Universidad no publica un temario detallado por subtema. Es la afirmación de la que depende que este estudio exista, así que es la primera que convendría confirmar.
- El problema del tanque cónico: 9 L/s, r = h/2, y el resultado 1/(10³π) m/s cuando h = 6 m.Está calcado en su estructura de un ejercicio del mismo tipo presente en material preuniversitario, no copiado de él, y el resultado coincide con el que ese material declara. La aritmética está verificada aquí de forma independiente; lo que no se puede afirmar es que un problema así aparezca en el examen real.
- Que las derivadas de la página sean las correctas.Cada regla y cada ejemplo se contrastaron contra una diferencia central calculada sobre la propia función, y esa comprobación se ejecuta también en el navegador, a la vista. Es cálculo verificable, no una cita a una tabla de derivadas.
- La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad. Estos bancos la aplican a rajatabla, así que si resultara falsa entrenarían un descarte que no existe.
- Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
- Las 25 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él.