Esteban Ruano.
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Admisión UNAL · Matemáticas III

Un solo círculo y ya no hay nada que memorizar

Trigonometría es, según el temario, lo que más se pregunta del componente. Y casi todo lo que la vuelve pesada —las tablas de valores, los signos por cuadrante, las identidades, el período— sale de un único dibujo: una circunferencia de radio 1, donde el coseno es la coordenada horizontal del punto y el seno la vertical.

Seis paneles con algo que mover. El primero es el diagrama del que dependen los otros cinco: se arrastra, y cada segmento está rotulado con lo que mide.

Índice

1 · El círculo unitario2 · Radianes3 · Ángulo de referencia4 · Las seis razones5 · La gráfica6 · Senos y cosenos
1

El círculo unitario: por qué el radio vale 1

En un triángulo rectángulo, sen θ es el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa. Si la hipotenusa mide exactamente 1, esa división desaparece: el seno ya no es una razón, es una longitud — y, mejor todavía, es la coordenada vertical del punto. Ésa es toda la idea.

Ángulo θ — arrastra sobre el dibujo o usa el deslizador
1−11−1IIIIIIIV30°cos θsen θ
cos θ — coordenada xsen θ — coordenada yradio = 1 — la hipotenusa
30°= π/6 rad
cos θ = x√3/2 ≈ 0,866
sen θ = y1/2 ≈ 0,5
tan θ = y / x√3/3 ≈ 0,577
Mueve el punto por los cuatro cuadrantes: el seno y el coseno no cambian de fórmula, cambian de signo, y el signo es simplemente el del cuadrante en el que cae la coordenada. No hay cuatro reglas que memorizar, hay un plano cartesiano.
La confusión de origen
Con la hipotenusa igual a 1 desaparece la división, y por eso seno y coseno nunca pasan de 1 ni bajan de −1: son coordenadas de un punto que está sobre la circunferencia. Una opción que ofrezca sen θ = 1,4 se descarta sin hacer una sola cuenta. La tangente, en cambio, no está acotada: es un cociente, y crece sin límite cerca de 90°.
2

Radianes: medir el ángulo con el propio arco

Un grado es una convención babilónica: 1/360 de vuelta, sin ninguna razón geométrica. El radián no: es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Por eso la longitud de arco se calcula con una multiplicación —s = rθ— y sólo funciona si θ está en radianes.

arco = 1 · rr
el arco que abarca el ángulo
El ángulo cuyo arco mide exactamente lo mismo que el radio. Ésa es la definición, y por eso el radián no lleva unidad: es una longitud dividida entre otra.
Radio del círculo: r = 3
La longitud del arco
s = r · θ = 3 · 1 = 3 ≈ 3 unidades

Con θ en grados esta fórmula no funciona: 57,3 × 3 no es la longitud de nada. El grado no mide arco, sólo cuenta partes de la vuelta — por eso hay que convertir antes.

grados180 = radianesπ
La regla de tres que convierte en los dos sentidos. De grados a radianes se multiplica por π/180; de radianes a grados, por 180/π.
La trampa del examen
Dar el resultado decimalizado. El período de sen(3x) es 2π/3, no 2,09; un arco de 60° con radio 6 mide 2π, no 6,28. La respuesta se deja en términos de π — y una opción con decimales largos en un examen sin calculadora suele ser justamente el distractor.
3

El ángulo de referencia: 16 valores desde 3

Nadie memoriza sen 240°. Se memorizan tres ángulos —30, 45 y 60— y se aplican dos preguntas: ¿qué ángulo agudo forma el radio con el eje horizontal?, y ¿qué signo tiene esa coordenada en este cuadrante? El valor sale de multiplicar las dos respuestas.

Ángulo θ = 210°
α = 30°
Los dos pasos, sobre este ángulo
210° está en el cuadrante III · α = α = 210° − 180° = 30° · sen 30° = 1/2 · cos 30° = √3/2

En el cuadrante III son positivas sólo la tangente, así que sen 210° = −1/2 y cos 210° = −√3/2. El número es el mismo que en 30°; lo único que cambia es el signo.

Los cuatro cuadrantes de una vez
Cuadranteángulosángulo de referenciasignos
I0° a 90°α = θsen +, cos +, tan +
II90° a 180°α = 180° − θsen +, cos −, tan −
III180° a 270°α = θ − 180°sen −, cos −, tan +
IV270° a 360°α = 360° − θsen −, cos +, tan −
La regla nemotécnica se lee empezando en el cuadrante I y girando: todas, el seno, la tangente, el coseno. Pero no hace falta: si sabes que el coseno es la coordenada x, ya sabes que es negativo a la izquierda del eje vertical, que es exactamente donde están los cuadrantes II y III.
La trampa
Restar del cuadrante equivocado. Para 210° el ángulo de referencia es 210 − 180 = 30, no 180 − 210 = −30 ni 360 − 210 = 150. El ángulo de referencia siempre es agudo y positivo: si te sale negativo o mayor que 90°, usaste la fórmula del cuadrante que no era.
4

Las seis razones y las identidades que se deducen

Sólo hay dos funciones de verdad: seno y coseno. Las otras cuatro son cocientes o inversos de ellas, y ninguna hay que memorizarla aparte. Cuando una razón no está definida es porque su denominador se anula, y en el círculo eso se ve: es el punto donde la coordenada vale 0.

Ángulo notable
sen 30° = y1/2
cos 30° = x√3/2
tan 30° = sen / cos√3/3
cot 30° = cos / sen√3
sec 30° = 1 / cos2√3/3
csc 30° = 1 / sen2

La identidad fundamental no es una fórmula nueva: es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo del panel 1, cuya hipotenusa vale 1. Las otras dos salen de dividir esa misma igualdad entre cos²θ y entre sen²θ.

sen2θ + cos2θ = 1
Es x² + y² = 1, la ecuación de la circunferencia de radio 1. Nada más.
De dónde salen las otras dos
1

Se divide todo entre cos²θ

Cada término, incluido el 1 de la derecha.

sen²θ/cos²θ + 1 = 1/cos²θ → tan²θ + 1 = sec²θ
2

Se divide todo entre sen²θ

El mismo movimiento, con el otro denominador.

1 + cos²θ/sen²θ = 1/sen²θ → 1 + cot²θ = csc²θ
Fíjate en dónde queda el 1 en cada una: acompaña siempre a la razón que no da nombre a la identidad. En tan² + 1 = sec² el 1 va con la tangente; en 1 + cot² = csc², con la cotangente. Si lo colocas al otro lado, la identidad deja de ser cierta.
La confusión más cobrada
La secante es el inverso del coseno, no del seno. Las iniciales engañan: se-cante con co-seno, co-secante con seno. Cruzarlas convierte una pregunta de identidades en un error automático, y el examen construye el distractor exactamente con el intercambio.
5

La gráfica: cuatro números, cuatro efectos

Toda función senoidal del examen tiene la forma y = A sen(Bx + C) + D, y cada letra hace una sola cosa. La pregunta casi nunca pide dibujar: pide el período, la amplitud o el desfase, y las tres se leen sin graficar nada.

A = 2 · amplitud |A| = 2
B = 2 · período 2π/B = π
C = 0 · desfase −C/B = 0
D = 0 · eje de la onda en y = 0
0π/2π3π/22π01−1
y = A sen(Bx + C) + Dy = sen x, para comparar
Lo que el examen pregunta de esta gráfica
amplitud = |2| = 2 · período = 2π/2 = π · desfase = −(0)/2 = 0 · eje: y = 0

Con B = 2 caben 2 ciclos completos en 2π: el coeficiente de x comprime la gráfica, no la estira.

Las dos trampas del desfase
El desfase no es C, es −C/B. Hay que sacar B a factor común antes de leerlo: sen(2x + π) es sen(2(x + π/2)), así que corre π/2, no π. Y la segunda: A no cambia el período y B no cambia la amplitud. Cada letra hace lo suyo, y el distractor habitual es cruzar sus efectos.
El coseno es la misma curva adelantada un cuarto de vuelta: cos x = sen(x + π/2). Por eso comparten período, amplitud y todo lo demás — y por eso una pregunta sobre el período de un coseno se resuelve con la misma fórmula 2π/B.
6

Cuando no hay ángulo recto

Seno y coseno se definen sobre un triángulo rectángulo, pero el examen también pone triángulos que no lo son. Para ésos hay dos leyes, y elegir cuál se usa depende sólo de qué datos te dan.

Ley de senoslado ↔ ángulo opuesto
En todo triángulo, cada lado es proporcional al seno del ángulo que se le opone.
a / sen A = b / sen B = c / sen C
cuándo cuando conoces un lado con su ángulo opuesto — dos ángulos y un lado (ALA, AAL), o dos lados y un ángulo no comprendido (LLA, el caso ambiguo).
Ley de cosenosgeneraliza Pitágoras
El cuadrado de un lado es la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble de su producto por el coseno del ángulo comprendido.
a² = b² + c² − 2bc · cos A
cuándo cuando no hay ningún par lado–ángulo opuesto completo: dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), o los tres lados (LLL, despejando el coseno).
Ángulo comprendido A
Lado b = 5
Lado c = 7
A = 60°c = 7b = 5a
El lado que falta, en forma exacta
a² = b² + c² − bc = 25 + 49 − 35 → a = √(74 − 35) ≈ 6,24

Con el ángulo agudo el coseno es positivo y el término resta: el lado opuesto sale más corto que en el caso recto.

La trampa
Dejar el resultado como a² cuando se pedía a, o al revés. Y el error de estructura: en a² = b² + c² − 2bc cos A el ángulo A tiene que ser el comprendido entre b y c. Si metes el coseno de otro ángulo, la fórmula ya no describe ese triángulo.
Tres frases para retener. El coseno es x y el seno es y: con eso solo, el signo de cada cuadrante deja de ser una regla y pasa a ser una lectura del plano. Sólo hay tres ángulos que memorizar —30, 45 y 60—; los otros trece salen del ángulo de referencia más un signo. Y cada letra de A sen(Bx + C) + D hace una cosa distinta: si una respuesta mezcla amplitud con período, es el distractor.
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Sources & bibliography

The authorities this material stands on, and — separately — what it cannot yet back up.

  1. 01

    DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión

    Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones

    Herramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.

  2. 02

    Prueba de admisión — estructura y componentes

    Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones

    120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.

  3. 03

    Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario

    Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.

  4. 04

    Elementos, Libro VI

    Euclides

    La proporcionalidad entre figuras semejantes, que es de donde sale que las razones entre lados dependan sólo de los ángulos. Es el resultado sobre el que descansa el panel 1: sin él, fijar la hipotenusa en 1 no estaría justificado.

  5. 05

    Introductio in analysin infinitorum

    Leonhard Euler · 1748

    El tratamiento de seno y coseno como funciones de un arco sobre una circunferencia de radio unidad, en lugar de como longitudes de cuerdas en una tabla. Es la referencia del enfoque completo de este estudio; se cita como la autoridad del planteamiento, no como origen de ningún valor concreto de la página.

Open questions

These are in the material but their provenance is not established. They are listed rather than omitted, so nothing here reads as settled when it isn't.

  • Los valores exactos de las razones trigonométricas para los diecisiete ángulos notables de la tabla, y los términos simbólicos de la ley de cosenos.No están tomados de una tabla citada: se calcularon y después se comprobaron uno por uno contra el valor numérico de la función correspondiente, con un margen de 10⁻⁹. Es una verificación reproducible, no una cita — y por eso se declara aquí en vez de presentarse como dato de referencia.
  • El orden de importancia de los subtemas de matemáticas —que trigonometría sea «lo que más se pregunta», seguida de regla de tres, probabilidad, estadística y funciones—.Procede de una serie de vídeos de un canal de preparación (PASAR A LA U), cruzando la descripción de cada vídeo con su audio, no de un temario publicado por la Universidad Nacional. Los propios vídeos remiten al simulador DIPA como la mejor preparación. Sirve como mapa de estudio; no como especificación de la prueba, y por eso el énfasis de estos estudios podría estar mal repartido.
  • La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad. Estos bancos la aplican a rajatabla, así que si resultara falsa entrenarían un descarte que no existe.
  • Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
  • Las 26 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él. El bloque de la rueda usa un modelo senoidal, que sí es el que describe una rueda girando a rapidez constante; las cifras concretas —radio 9 m, eje a 11 m, período 30 s— están elegidas para que las cuentas salgan sin calculadora.