Esteban Ruano.
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Admisión UNAL · Matemáticas II

La mitad algebraica del componente

La fama de «prueba de razonamiento» engaña: el material real es más algebraico y más simbólico de lo que sugiere. Sistemas planteados desde un enunciado verbal, fracciones algebraicas, completar el cuadrado, dominio y rango, período y signo por cuadrante — todo eso aparece, y el primer estudio de matemáticas, centrado en geometría y probabilidad, no lo cubre.

Aquí casi todo es una fracción, así que van apiladas: con barra oblicua hay que recomponer numerador y denominador mentalmente, y ahí está el error que el examen busca.

Índice

1 · Sistemas2 · Fracciones algebraicas3 · Completar el cuadrado4 · Dominio y rango5 · Período y cuadrante6 · Lineal y exponencial
1

Sistemas: el trabajo está en plantearlos

En el examen las dos ecuaciones casi nunca vienen dadas: vienen dentro de un enunciado verbal. Traducir bien es el ejercicio; resolver, una vez planteado, es mecánico.

Enunciado

Dos cuadernos y tres lápices cuestan 12 unidades. Un cuaderno cuesta una unidad más que un lápiz. ¿Cuánto cuesta cada uno?

2x + 3y = 12·x − y = 1
Primero se nombra: x es el precio del cuaderno, y el del lápiz. Cada frase del enunciado se vuelve una ecuación, en el mismo orden en que aparece.
Eliminación
Se suman o restan las ecuaciones tras multiplicarlas para que una incógnita se cancele.
cuándo Cuando los coeficientes ya son opuestos o se vuelven opuestos con un factor pequeño. Es el más rápido bajo presión.
La comprobación, que casi nadie hace
x = 3 · y = 2 → 2(3) + 3(2) = 12 ✓ · 3 − 2 = 1 ✓

Sustituir la solución en las dos ecuaciones cuesta diez segundos y descarta el error de signo, que es el más común. Si solo cuadra una, el fallo está en el despeje.

La trampa
Contestar con la incógnita equivocada. El enunciado pregunta por cada uno, y muchas preguntas piden solo una de las dos o su diferencia. Antes de marcar, relee qué se pedía: tener x e y correctos y elegir el número que no era es un fallo caro.
2

Fracciones algebraicas: factorizar antes de operar

La regla es una sola: no se puede simplificar sobre una suma, solo sobre factores. Por eso el primer movimiento siempre es factorizar, y casi siempre lo que aparece es una diferencia de cuadrados.

x2 − 9x − 3 = (x + 3)(x − 3)(x − 3) = x + 3
a² − b² = (a + b)(a − b). Reconocerla es lo que convierte una fracción imposible en una resta trivial.
Comprueba con un valor: x = 5
Las dos formas dan lo mismo
(5² − 9) ÷ (5 − 3) = 16 ÷ 2 = 8 · y x + 3 = 8

Son la misma función salvo en x = 3, donde la original no está definida porque el denominador se anula. Esa exclusión es lo que el examen pregunta cuando pide el dominio.

La trampa
«Tachar» la x de (x + 3)/x para dejar 3. No se puede: el denominador divide a toda la suma, no a cada sumando. Solo se cancela lo que multiplica arriba y abajo, y para eso hay que factorizar primero.
3

Completar el cuadrado: para qué sirve de verdad

No es un ritual: es la forma de leer el vértice de una parábola sin fórmula. Pasar de la forma desarrollada a la canónica deja las coordenadas del vértice a la vista.

Coeficiente b = 6 (en x² + bx + 5)
x2 + 6x + 5 = (x + 3)2 − 4
Se toma la mitad de b (6 ÷ 2 = 3), se eleva al cuadrado (3² = 9) y se compensa restándolo. Vértice en (-3, -4).
En la forma canónica (x − h)² + k, el vértice es (h, k) directamente. Aquí sale (-3, -4) — ojo con el signo: el que aparece dentro del paréntesis va cambiado.
Para y = ax² + bx + c el atajo del vértice es x = −b/2a, que es exactamente lo que hace este procedimiento. Completar el cuadrado sirve además para deducir la fórmula cuadrática y para reconocer cónicas escritas sin ordenar.
4

Dominio y rango: dos preguntas, dos restricciones

Casi todo el dominio del examen sale de dos prohibiciones: no dividir entre cero y no sacar raíz par de un negativo. Buscar dónde se violan resuelve el ítem.

dominiox ≥ 4 — los valores de x admitidos
rangoy ≥ 0 — los valores de y que salen
por quéDentro de una raíz par no puede haber un número negativo, así que x − 4 ≥ 0.
El examen también presenta funciones como conjuntos de pares ordenados. Ahí el criterio es el mismo de siempre: es función si ningún primer elemento se repite con distinta imagen. El dominio es el conjunto de las primeras componentes; el rango, el de las segundas.
5

Período y signo: dos preguntas fijas de trigonometría

Del comportamiento de seno y coseno el examen pide casi siempre lo mismo: cada cuánto se repite la función y qué signo tiene en cada cuadrante.

Coeficiente B en sen(Bx): B = 3
T = 2πB
Con B = 3 el período es 2π/3: la gráfica completa 3 ciclos en lo que antes hacía uno. Un B mayor comprime, no estira.
El período se deja en términos de π, como todo en este examen. Un «2,09» delata que se decimalizó donde no tocaba.
Signo por cuadrante
ángulos90° a 180°
sen θ+
cos θ−
tan θ− — es el cociente, así que su signo sale de los otros dos
Regla nemotécnica que basta: en el I todas son positivas; en el II solo el seno; en el III solo la tangente; en el IV solo el coseno. Y la tangente nunca hay que memorizarla aparte — es seno sobre coseno.
La trampa
Dar el ángulo cuando piden la expresión. Sin calculadora, la respuesta de un problema de ángulos suele quedar como α = tan⁻¹(40/70), no como un número de grados. Si entre las opciones hay una razón inversa sin resolver, casi siempre es ésa.
6

Crecer sumando frente a crecer multiplicando

Es la distinción que el examen pone en gráficas, en tablas y en problemas de porcentajes: en el crecimiento lineal se suma siempre lo mismo; en el exponencial se multiplicasiempre por lo mismo.

Períodos transcurridos: 5
Lineal
Exponencial
Los dos modelos, partiendo de 100
lineal: 100 + 20n = 200 · exponencial: 100 × 1,2ⁿ = 248,8

A partir de cierto punto el exponencial se despega y ya no lo alcanza nadie. Ese cruce es lo que las preguntas de gráficas quieren que reconozcas.

La trampa
Los porcentajes no se suman. Dos aumentos consecutivos del 10 % no dan 20 %: dan 1,1 × 1,1 = 1,21, es decir un 21 %. El mismo error aparece con descuentos encadenados y con crecimiento poblacional, y es de los distractores más rentables del examen.
Dos frases. Factoriza antes de simplificar: solo se cancela lo que multiplica, nunca un sumando, y esa sola regla resuelve casi todas las fracciones algebraicas. Y los porcentajes se multiplican, no se suman: dos subidas del 10 % dan 21 %, y hay un distractor esperando a quien conteste 20.
// sources

Sources & bibliography

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  1. 01

    DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión

    Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones

    Herramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.

  2. 02

    Prueba de admisión — estructura y componentes

    Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones

    120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.

  3. 03

    Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario

    Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.

  4. 04

    Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación)

    Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī · c. 820

    El tratado del que viene la palabra «álgebra» y donde se resuelven ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado — el procedimiento del panel 3, presentado ahí por vía geométrica.

  5. 05

    Introductio in analysin infinitorum

    Leonhard Euler · 1748

    Fija el concepto moderno de función y su notación, y sistematiza el tratamiento de las funciones exponenciales y trigonométricas que usan los paneles 4 a 6.

Open questions

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  • La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con el hecho de que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad.
  • Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
  • Las 25 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él.