Factorización en formato de examen
Dos bloques —una caja recortada de una lámina y una piscina con su borde— donde factorizar no es la pregunta sino el instrumento, más los ítems que recorren el catálogo caso por caso. Ojo a la palabra «completamente»: la factorización a medias está entre las opciones a propósito.
De una lámina cuadrada de cartón de 12 cm de lado se recorta un cuadrado de lado x en cada una de las cuatro esquinas. Después se doblan hacia arriba las cuatro pestañas que quedan y se pega, formando una caja abierta por encima.
El volumen de la caja resultante, en centímetros cúbicos, queda expresado en función de x.
V(x) = x·(12 − 2x)² · la altura de la caja es x · el lado de la base es 12 − 2x
Al desarrollar la expresión del volumen, V(x) es igual a
La expresión del volumen, completamente factorizada, es
Los valores de x para los cuales el volumen de la caja es cero son
Para que la caja pueda construirse realmente, los valores admisibles de x son
Si se recortan esquinas de 2 cm de lado, el volumen de la caja, en cm³, es
El perímetro de la base de la caja, en centímetros, es
Sobre la caja construida con este procedimiento, NO es correcto afirmar que
Una piscina rectangular mide x metros de ancho y 4 metros más de largo, es decir (x + 4) metros. Alrededor de la piscina se construye un borde de baldosa de 1 metro de ancho, del mismo ancho por los cuatro lados.
Todas las medidas están en metros y x representa un número positivo.
El rectángulo exterior mide (x + 2) por (x + 6) · área de un rectángulo = base × altura
El área total del rectángulo exterior, en metros cuadrados, es
El área del borde de baldosa, completamente factorizada, es
Si la piscina mide 5 metros de ancho, el área del borde, en metros cuadrados, es
Sobre las dos expresiones de área, NO es correcto afirmar que
Si el área total llegara a ser de 12 m², la ecuación x² + 8x + 12 = 12 tendría como soluciones
La factorización de 4x² − 49 es
Sobre el polinomio x² + 16 se puede afirmar que
La factorización de x² − 2x − 15 es
La factorización de 3x² − 10x + 8 es
La factorización de 27x³ + 1 es
La factorización de 2ax − 6a + bx − 3b es
De las siguientes expresiones, la que NO está completamente factorizada es
El residuo de dividir P(x) = x³ + 2x² − 5x − 6 entre (x − 1) es
Si al evaluar un polinomio P(x) se obtiene P(−3) = 0, se puede concluir que
Para x ≠ 3, la expresión (x² − 9)/(x² − 6x + 9) es equivalente a
Al racionalizar el denominador, la expresión 6/√2 queda como
El desarrollo de (2x − 5)² es
Considere las siguientes afirmaciones.
(1) x² + 9 = (x + 3)(x − 3)
(2) x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
Sin usar calculadora, el producto 102 × 98 es igual a
Sources & bibliography
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- 01
DIPA — Demostración Interactiva de la Prueba de Admisión
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de AdmisionesHerramienta oficial y repetible para practicar con preguntas de los cinco componentes; entrega un puntaje por componente y un puntaje estandarizado al terminar. La propia página advierte que sirve para familiarizarse con el tipo de pregunta y que no hace parte del proceso de admisión. Es la referencia contra la que conviene contrastar la dificultad de cualquier banco generado, incluido este.
- 02
Prueba de admisión — estructura y componentes
Universidad Nacional de Colombia · Dirección Nacional de Admisiones120 preguntas de opción múltiple en 3 horas y 30 minutos, repartidas en cinco componentes: análisis textual 25, matemáticas 25, ciencias naturales 25, ciencias sociales 25 y análisis de la imagen 20. De ahí sale el ritmo promedio de 1 min 45 s por pregunta que usa el cronómetro de los bancos.
- 03
Cuadernillo de pruebas estandarizadas, Programa PreUniversitario
Origen de los formatos que imitan los bancos: bloques de contexto compartido, doble afirmación con tabla de verdad, completar con tupla ordenada, opción compuesta de rasgos y enunciado en negativo. Es material preuniversitario modelado sobre el examen, no un examen oficial de la Universidad Nacional.
- 04
Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación)
Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī · c. 820El tratado del que viene la palabra «álgebra» y donde las ecuaciones cuadráticas se resuelven completando el cuadrado, por vía geométrica. Es el antecedente del truco 4 del panel 5.
- 05
La Géométrie
René Descartes · 1637El resultado que hoy se enseña como teorema del factor: que un polinomio con raíz a es divisible entre (x − a). Es el fundamento del panel 4; se cita como la autoridad del enunciado, no como fuente de los polinomios concretos que usa la página.
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- La lista de ocho «casos de factorización» y el orden en que se prueban.Es la organización habitual de los textos escolares colombianos —el catálogo numerado de casos—, no una especificación de la Universidad. El contenido matemático es estándar y no está en duda; lo que no está respaldado es que ése sea el recorte con el que el examen lo pregunta.
- Que todas las igualdades de factorización de la página sean correctas.Se comprobaron evaluando las dos formas —la desarrollada y la factorizada— en varios valores de x, y los cinco «errores» del panel 6 se comprobaron al revés, verificando que efectivamente NO coinciden. Es verificación por cálculo, reproducible en el propio navegador con los deslizadores; no es una cita.
- La regla de formato: que las respuestas se dejen en términos de π, con radicales sin resolver y fracciones sin decimalizar.Es una convención de pruebas sin calculadora recogida de material preuniversitario, no una norma citada de la convocatoria. Es coherente con todo el material observado y con que la calculadora esté prohibida, pero sigue sin estar confirmada por la Universidad. Estos bancos la aplican a rajatabla, así que si resultara falsa entrenarían un descarte que no existe.
- Que la prueba se aplique en dos partes de 60 preguntas cada una, con 2 horas para la primera (análisis textual y matemáticas, más parte de ciencias) y 1 hora 30 minutos para la segunda (ciencias, sociales y análisis de imagen).Aparece de forma consistente en material preuniversitario, pero NO en las páginas de la Dirección Nacional de Admisiones, que solo declaran 120 preguntas y 3 h 30 min en total. Si fuera cierta, el ritmo real sería de 2 min por pregunta en la primera parte y de 1 min 30 s en la segunda, no de 1 min 45 s en todas. Por eso el cronómetro de los bancos ofrece los tres ritmos etiquetados por su procedencia en vez de imponer el promedio.
- Las 26 preguntas del banco y sus respuestas.Están escritas para este material, no tomadas de exámenes publicados. La aritmética está verificada numéricamente; el estilo y la dificultad son una aproximación al examen real, no una muestra de él.